Cómo calcular el determinante de una matriz fácilmente Regla de Laplace

La fórmula o solución de Laplace es útil para determinar el valor del determinante de matrices cuadradas con diversas dimensiones, aunque frecuentemente se aplica en matrices de mayor tamaño a 3.

Tridimensionalidad en Matemáticas Regla de Sarrus x

Regla mnemotécnica para la multiplicación de matrices: Aunque la regla de Sarrus pueda parecer compleja, en realidad también consiste en multiplicar elementos en diagonal. Para entenderlo mejor, veamos los dos siguientes ejemplos:

La obtención de la inversa mediante la matriz adjunta

Teniendo como base la matriz A:

Podemos comprobar que el producto Adj(A) * A da como resultado una matriz escalar:

Esta matriz escalar tiene como elementos los valores del determinante de la matriz A en su diagonal principal, en este caso, 27.

Esta propiedad no es una coincidencia, sino que se cumple para todas las matrices cuadradas.

Determinante de matriz x

La Regla de Sarrus para calcular el determinante

El determinante se puede calcular a través de la regla de Sarrus, que consiste en multiplicar los elementos de las diagonales descendentes y sumarlos, y los de las diagonales ascendentes, restándolos.

Por lo general, no es necesario escribir las cinco columnas para aplicar la regla de Sarrus, basta con observar la matriz y seguir un orden específico: primero sumar las diagonales y luego restarlas. Esto se puede memorizar con facilidad y no es tan complejo como parece.

Además, para aplicar la regla de Sarrus podemos escribir las tres columnas de la matriz junto con la primera y segunda columna, y así obtener más fácilmente los elementos correctos para la multiplicación.

Desentrañando la propiedad determinante de matrices de tamaño mayor o igual a x

Si bien la regla de Laplace puede ser utilizada en matrices cuadradas de cualquier dimensión, suele ser más común aplicarla en matrices de 3 o más dimensiones. Existen dos versiones de esta regla: el desarrollo por fila y el desarrollo por columna. Ambas dan como resultado el mismo determinante, pero una u otra se puede elegir dependiendo de la conveniencia.

Un consejo importante es escoger la fila o columna con más ceros al realizar el desarrollo, ya que así se evita tener que calcular el determinante cuando alguno de los elementos de la matriz sea igual a cero: a_ij = 0. Por lo tanto, se recomienda utilizar esta estrategia para agilizar el cálculo del determinante.

Determinante de matriz diagonal

Definición: Una matriz se considera diagonal si todos sus elementos fuera de la diagonal principal son cero. Es decir, si denotamos con (a_{ij}) al elemento de la fila (i) y columna (j) de la matriz A, entonces se cumple que (a_{ij}=0) para todo (ineq j).

Es muy relevante conocer que el determinante de una matriz diagonal cuadrada, independientemente de su tamaño, es igual al producto de los elementos de su diagonal principal.

Determinante

Nuestra elección del determinante por la fila 1 se basa en la presencia de un 0, aunque también existen otras opciones como la fila 4, la columna 2 o la columna 4.

Construyendo un determinante mediante cofactores

Dada la matriz cuadrada (A) de orden (n), el menor correspondiente al elemento en la fila (i) y columna (j) se define como la submatriz de orden (n-1) obtenida al eliminar dicha fila y columna de la matriz original:El cofactor ({C_{ij}}) del elemento ({a_{ij}}) se obtiene multiplicando el determinante de la submatriz ({M_{ij}}) por ({left({-1}right)^{i+j}}):Cabe destacar que ({left({-1}right)^{i+j}}) toma el valor de (1) si (i+j) es par, y de ({-1}) si es impar:Con estas definiciones, podemos enunciar el procedimiento para calcular un determinante de orden (n):

Matriz Adjunta

Dada una matriz A en el conjunto de los números reales (n × n), se llama matriz de cofactores de A a la matriz obtenida reemplazando cada elemento de A por su correspondiente cofactor, que se define como el determinante de la submatriz que resulta de eliminar la fila y columna del elemento en cuestión.

Por ejemplo, para una matriz 3 × 3, su matriz de cofactores es:

[ Cof(A) = left( {begin{array}{*{20}{c}} {C_{11}} & {C_{12}} & {C_{13}} \ {C_{21}} & {C_{22}} & {C_{23}} \ {C_{31}} & {C_{32}} & {C_{33}} end{array}} right) ]

La matriz adjunta de A, que se representa como adj(A), es la transpuesta de su matriz de cofactores.

Tomemos por ejemplo la matriz A dada por: [ A = left( {begin{array}{*{20}{c}} 1& 2& 3\ 4& 5& 6\ 7& 8& 0 end{array}} right) ]

Calculando sus cofactores, obtendremos la matriz adjunta:

[begin{align}

& {C_{11}} = {left( { – 1} right)^{1 + 1}}left {begin{array}{*{20}{c}} 5& 6\ 8& 0 end{array}} right = –48 \

& {C_{12}} = {left( { – 1} right)^{1 + 2}}left {begin{array}{*{20}{c}} 4& 6\ 7& 0 end{array}} right = 42 \

& {C_{13}} = {left( { – 1} right)^{1 + 3}}left {begin{array}{*{20}{c}} 4& 5\ 7& 8 end{array}} right = –3 \

& {C_{21}} = {left( { – 1} right)^{2 + 1}}left {begin{array}{*{20}{c}} 2& 3\ 8& 0 end{array}} right = 24 \

& {C_{22}} = {left( { – 1} right)^{2 + 2}}left {begin{array}{*{20}{c}} 1& 3\ 7& 0 end{array}} right = 21 \

& {C_{23}} = {left( { – 1} right)^{2 + 3}}left {begin{array}{*{20}{c}} 1& 2\ 7& 8 end{array}} right = –14 \

& {C_{31}} = {left( { – 1} right)^{3 + 1}}left {begin{array}{*{20}{c}} 2& 3\ 5& 6 end{array}} right = –21 \

& {C_{32}} = {left( { – 1} right)^{3 + 2}}left {begin{array}{*{20}{c}} 1& 3\ 4& 6 end{array}} right = 18 \

& {C_{33}} = {left( { – 1} right)^{3 + 3}}left {begin{array}{*{20}{c}} 1& 2\ 4& 5 end{array}} right = –3

end{align}]

Por lo tanto, la matriz adjunta de A es:

[adj(A) = left( {begin{array}{*{20}{c}} {-48}& {24}& {-21}\ {42}& {21}& {18}\ {-3}& {-14}& {-3} end{array}} right)]

El impacto de los factores insignificantes en una situación

Cálculo de determinantes para matrices de orden 2 y 3

Para una matriz de orden 2, $A=(a)$, el determinante es igual a $a$.

Si tenemos una matriz de orden 2:

$$A=begin{pmatrix} a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22} end{pmatrix}$$

Podemos calcular su determinante utilizando la fórmula $det(A) = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$

Ahora bien, si tenemos una matriz de orden 3, utilizamos la regla nemotécnica "Regla de Sarrus" para calcular su determinante. Esta regla consiste en multiplicar los elementos diagonales principales y sumarlos, y luego multiplicar los elementos diagonales secundarios y restarlos. Sería así:

$$

det(A) = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32}-a_{31}a_{22}a_{13}-a_{32}a_{23}a_{11}-a_{33}a_{21}a_{12}

$$

En el caso de una matriz de orden 3, también es útil tener en cuenta los conceptos de la matriz adjunta y adjunto de un elemento. Dada una matriz cuadrada $A=(a_{ij})$, la matriz adjunta del elemento $a_{ij}$, que llamaremos $A_{ij}$, se obtiene eliminando la fila i y la columna j, es decir, aquellas donde se encuentra el elemento en cuestión. Es así:

$$

A_{ij} = begin{pmatrix} a_{11} & dots & a_{i1} & dots & a_{n1}\ vdots &

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