Descubre eficaces métodos de integración por partes Tips y técnicas fundamentales

Es poco común encontrar una función que puedamos integrar de manera directa, ya que resulta complicado deshacer la derivada mentalmente para una función no elemental. Como consecuencia, suele ser necesario recurrir a un método de integración. Uno de los más útiles en cálculo es la técnica de integración por partes, la cual resulta efectiva al enfrentarnos a una integral en la que dos funciones son multiplicadas entre sí.

Obtención de la fórmula de integración por sustitución

En el método de integración por partes, se utiliza la regla del producto como base. Para recordar, ésta establece que la derivada de una función (h), que es el producto de otras dos funciones ((f) y (g)), se obtiene multiplicando la derivada de (f) por (g) y sumando la derivada de (g) multiplicada por (f).

Para aplicar este método, es necesario identificar las dos funciones a multiplicar, las cuales llamaremos (u) y (dv). La función (u) será la que se diferenciará y la función (dv) será la que se integre.

Es importante mencionar que siempre se debe agregar la constante de integración "(+c)" al final del resultado, ya que se trata de una integral indefinida. Aunque podría añadirse en una etapa anterior, se prefiere dejarla al final para evitar confusiones y hacer el trabajo más claro y fácil de leer.

Fundamentos de la integración por partes Aspectos esenciales

Identificación de las funciones a integrar y diferenciar

Primero se debe determinar cuál función será tratada como u para su diferenciación, y cuál se tomará como v' para su integración.

Uso de la regla de integración por partes

Cuando se hayan agotado todas las demás opciones, se puede recurrir a la integración por partes como regla general.

Es importante tener en cuenta que este proceso puede ser largo y que solo se aplicará en ciertos momentos.

Otra posibilidad

Otra alternativa para utilizar la integración por partes es cuando se tiene una función de tipo cíclico, en la que la segunda derivada o segunda integral producen la misma función, como por ejemplo el seno, coseno o la función exponencial.

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Para poder resolver correctamente una integral, es necesario identificar y diferenciar las dos funciones involucradas en ella. Esto significa que debemos determinar cuál será la función a integrar y cuál será la función a diferenciar. Estas funciones suelen ser representadas con las letras u y dv, respectivamente.

integrales resueltas

Rewrite:

El contenido esencial de este texto consiste en elegir la variable (x = u) para disminuir el grado del monomio al derivar. Sin embargo, si hubiésemos escogido (x = dv), el grado aumentaría (de 1 a 2) y la integral se complicaría, ya que el factor de la exponencial permanecería igual y aparecería la integral.

Ejemplo:

Al intentar simplificar la derivada de un monomio, es de suma importancia seleccionar correcta y cuidadosamente el valor de la variable. Optar por (x = u) tendrá como resultado la reducción del grado del monomio, lo cual facilitará el cálculo. Por el contrario, si se elige (x = dv), el grado aumentará a 2 y la integral se volverá más compleja, ya que el factor de la exponencial permanecerá invariable y la integral aparecerá.

Ejercicios clave en la aplicación exitosa de la técnica de integración por partes

Como ya se ha destacado, es esencial tener cierto nivel de intuición para decidir cuándo utilizar la técnica de integración por partes. A continuación, presentamos algunos ejemplos y casos distintos que pueden ayudar a desarrollar esa intuición. Es importante tener en cuenta que, en algunos casos, se pueden aplicar varias veces esta técnica y en otras ocasiones incluso se puede solicitar específicamente hacerlo.

Este proceso puede seguirse en la segunda parte de la expresión del lado derecho, hasta que se hayan eliminado todos los términos elevados a la potencia (n) de las integrales involucradas. Por lo tanto, es necesario encontrar la segunda integral que contenga un coseno, para lo cual procederemos aplicando nuevamente la integración por partes, como ya se ha hecho en el ejemplo anterior. Finalmente, obtendremos el resultado que sigue:

Ejemplo

Pensar en la elección de las funciones u y dv es crucial, ya que posteriormente debemos derivar u e integrar dv. Además, es necesario calcular la integral de la fórmula.

Si tomamos u = x, entonces su derivada es du = dx. Sin embargo, para esto, debemos elegir dv = ln(x)dx y, para calcular v, tenemos que integrar el logaritmo.

Integral

La importancia de la selección de (u) y (dv) en esta integral es mínima ya que el proceso de derivar o integrar la función exponencial o el seno no afecta el resultado final. Podemos, por ejemplo, elegir

Integral

Integración y derivación: dos métodos para calcular la integral

Al intentar integrar (cos(x)), obtenemos (pm sin(x)) como resultado, lo cual no es muy útil. Por eso, decidimos utilizar el método de integración por partes con el objetivo de reducir el grado de la función al derivar. Para esto, seleccionamos (u = x^2) y (dv = cos(x) ,dx).

Sin embargo, al continuar con el cálculo de la integral, nos vemos en la necesidad de aplicar de nuevo el método de integración por partes. En este caso, optamos por mantener la elección anterior de (u = x) y (dv = sin(x)). En caso contrario, debemos deshacer el paso anterior.

Desglosando el concepto de la integración por partes

La integración por partes se puede entender como la inversa de la regla del producto en la diferenciación. Se aplica formalmente a una integral de dos funciones: (f) y (g'), cuando están multiplicadas entre sí. Para ello:

1) Dejamos una función como está y derivamos la otra.

2) Dejamos la función derivada como está y la integramos con respecto a la otra.

De esta manera, al integrar la primera función con respecto a la derivada, obtenemos la integral original. Este método es especialmente útil para integrar productos de funciones que no tienen primitivas conocidas.

Por ejemplo: Si tenemos la integral de ( ) multiplicado por '( ), podemos aplicar la integración por partes para convertirlo en una integral que depende solo de ( ) y ( ).

Sigue una regla sencilla pero efectiva para darle una nueva perspectiva a la resolución de integrales.

Integral

Si multiplicamos el término del integrando, obtendremos una suma que nos brinda la posibilidad de descomponer la integral en tres integrales más simples.

Integral

En primer lugar, es importante tener en cuenta que para simplificar el exponente al derivar, optamos por considerar u = x². Sin embargo, al integrar, nos encontramos con dv = ln(x)dx, lo cual no es una opción viable (aunque previamente hemos realizado dicha integral). Por lo tanto, decidimos tomar u = ln(x) y dv = x²dx.

Integral

Integrar esta integral en particular puede ser un desafío debido a la necesidad de aplicar dos veces la técnica de integración por partes. Además, su resolución es larga y propensa a errores de cálculo.

Realizar esta integral puede resultar complicado ya que requiere utilizar dos veces la estrategia de integrar por partes y su proceso de resolución es extenso, lo que aumenta la posibilidad de cometer equivocaciones en los cálculos.

Integral

La siguiente acción es la prácticamente idéntica a nuestra anterior operación, con la excepción de que debemos eliminar un factor de -2 y añadir un cuadrado adicional. Partiendo de esto, podremos asumir que (dv = -1/2·(1/f(x))'dx) (y, por ende,(v = -1/2·1/f(x))) así como (u = x+1).