Matlab Diagrama De Bode

La nomenclatura del diagrama de Bode proviene de su creador, Hendrick Bode, un ingeniero estadounidense que realizó sus investigaciones en Bell Labs. Este dispositivo gráfico muestra de manera visual la respuesta en frecuencia de un sistema LTI (lineal invariable en el tiempo) y representa, tanto la amplitud como la fase, en función de la frecuencia. Cabe mencionar que en el diagrama de Bode se emplea una escala logarítmica para la frecuencia, al igual que para la amplitud que se mide en decibelios (dB).

Argumentos de salida

Magnitud de la respuesta del sistema en unidades absolutas: Este es un valor esencial que se devuelve en formato de arreglo 3D con el objetivo de mostrar la respuesta del sistema en términos absolutos. Las dimensiones de este arreglo son (número de salidas del sistema) × (número de entradas del sistema) × (número de puntos de frecuencia).

En sistemas SISO, se puede obtener la magnitud de la respuesta en la k-ésima frecuencia de w o wout a través del valor mag(1,1,k). Si quieres ver un ejemplo práctico, puedes consultar la sección de Obtener datos de magnitud y fase.

En sistemas MIMO, la función mag(i,j,k) proporcionará la magnitud de la respuesta en la k-ésima frecuencia desde la j-ésima entrada hasta la i-ésima salida. Si quieres ver un ejemplo práctico, puedes consultar la sección de Magnitud y fase de un sistema MIMO.

Creando el Gráfico de Bode

Una de las ventajas del diagrama de Bode es su constructividad aditiva. En otras palabras, este diagrama asociado a una función de transferencia es igual a la suma de los diagramas de sus ceros y polos. Esto facilita la comprensión del comportamiento de un sistema, ya que se puede desglosar en partes más simples y luego sumarlas.

Para analizar la fase en el diagrama de Bode, se aplica el teorema del argumento del producto de números complejos. Este proceso es similar al utilizado para la magnitud y se basa en el mismo principio. Si quieres saber más, puedes consultar href{https://proofwiki.org/wiki/Argument_of_Product_equals_Sum_of_Arguments}{este recurso} donde se explica detalladamente paso a paso.

Esto facilita enormemente el análisis y la comprensión del comportamiento de un sistema.

Ejemplos

Creación de un modelo de espacio de estados aleatorio

Para este experimento, se ha generado un modelo de espacio de estados aleatorio que cuenta con 5 estados distintos. Este modelo será utilizado para la creación de un diagrama de Bode. Para ello, se hará uso del identificador de gráfica h, el cual se encargará de mostrar de manera visual los resultados obtenidos.

Con el fin de facilitar la lectura y comprensión de los resultados, se llevará a cabo una modificación de unidades, pasando de radianes a Hertz. Además, se procederá a eliminar la gráfica de fase, lo que permitirá centrar la atención en los datos más relevantes.

Para llevar a cabo estas acciones, es posible utilizar tanto el comando setoptions, que permite editar las propiedades del identificador de gráfica h, como el uso de bodeoptions, que facilita la especificación de opciones específicas para la toolbox que se está utilizando.

Para comenzar, se generará un conjunto de opciones basado en las preferencias y necesidades del experimento en cuestión. A partir de este, se procederá a la creación del diagrama de Bode con el fin de visualizar de manera clara y concisa los resultados obtenidos.

Comando de MATLAB

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Diagrama de Bode

Importante recordar: en sistemas SISO LTI, al aplicar una señal senoidal de entrada, la señal de salida en estado estable también será senoidal con la misma frecuencia, aunque puede haber cambios en la amplitud y/o la fase.

Gráfico de Magnitud-Frecuencia: muestra la relación entre la amplitud de salida (A^{prime}) y la amplitud de entrada (A) para cada valor de (omega). Aquí, la amplificación o atenuación de la amplitud se suele expresar en (dB).

Gráfico de Fase-Frecuencia: muestra la relación entre la fase de entrada (0º) y la fase de salida. En este gráfico se puede observar cómo varía la fase en función de la frecuencia.

Desarrollo matemático

Sin embargo, en el análisis de Bode se asume que el sistema se encuentra en un estado estable, por lo que se puede suponer que (sigma) es insignificante. Esto se debe a que en todas las soluciones estables de sistemas LTI unifilares, se cumple la misma condición.

Entrada

Sin embargo, al considerar únicamente el estado estable, se puede suponer que el tiempo t es suficientemente grande o tiende asintóticamente a infinito. Por lo tanto, tenemos lo siguiente:

Ahora solo nos queda determinar el valor de B y de (phi), que son los parámetros que definen la salida del sistema. (phi) se refiere al ángulo entre el eje real y el punto en el plano complejo de Y(s), lo que se conoce como fase, mientras que B representa la amplitud de la salida y se calcula de la siguiente manera:

Donde ( G(iomega) ) es la magnitud y A es la amplitud de la entrada. Sin embargo, lo que realmente nos interesa no es el valor preciso de B, sino la relación de amplitudes, es decir, cuánto se ha amplificado o atenuado la amplitud de la salida en comparación con la de entrada. Esta relación de amplitudes es el cociente entre la amplitud de salida y la de entrada, es decir:

Sistema Constante

En la teoría de sistemas, se establecen dos sistemas diferentes con ganancia distinta. Uno de ellos, con una ganancia positiva de 10, y el otro, con una ganancia negativa de -10. Además, es necesario tener en cuenta el rango de frecuencias que se aplicará en ambos sistemas.

Este parámetro de ganancia también tiene un impacto en la fase de los sistemas. En este caso, la fase se mantendrá constante y puede tener un valor de 0º o 180º (equivalente a π radiantes). Por lo tanto, la fase está determinada exclusivamente por el *signo* de la ganancia K, y no por su valor absoluto.

Unipolar o Monopolar Efectos de un Polo o un Cero en un Sistema

Se presentan dos sistemas, uno con una frecuencia de corte de 1 radian y otro con una frecuencia de corte de 10 radianes. También se determina el rango de frecuencias a utilizar.

La función aproximada se puede expresar de la siguiente manera: cuando ω, es considerablemente menor que la frecuencia de corte, la magnitud es nula. A medida que ω, se acerca a la frecuencia de corte, la magnitud disminuye hasta alcanzar los -3dB. A partir de ese punto, la magnitud sigue una línea recta con una pendiente negativa de 20dB. Dicha recta pasa por el punto (ω,₀, 0).

De igual manera, cuando el valor de ω, es significativamente menor a la frecuencia de corte, la fase es de 0º. A medida que ω, se aproxima a la frecuencia de corte, la fase se acerca a -45º (-π,/4 radianes). En cambio, cuando ω, es mucho mayor que la frecuencia de corte, la fase se aproxima asintóticamente a -90º (-π,/2 radianes).